0038-D-DBV-AK Software-Spannbetonbinder mit sofortigem Verbund nach DIN EN 1992-1-1 mit NA, Teil 2: Nachweis der Kippstabilität

Walter Pauli |   Walter Pauli | Roland Sauer



Klasse Normenbasiertes Verifikationsbeispiel
Tragwerkstyp räumliches Tragwerk, Stabtragwerk-Balken
Mechanik Statik-Theorie II. Ordnung, Statik-geometrisch nichtlinear
Materialgesetz multilinear-elastisch
Baustoff Beton, Stahlbeton, Spannbeton
Nachweisformat Schnittgrößenermittlung, Stabilitätsnachweis, Tragfähigkeitsnachweis (GZT)
Norm DIN EN 1992
Status
veröffentlicht am 28.03.2022

1.1 Aufgabenstellung

Für einen im Spannbett vorgespannten Dachbinder wird der Kippnachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit GZT geführt. Grundlage des Nachweises ist DIN EN 1992-1-1 mit dem nationalen Anhang DIN EN 1992-1-1/NA.

Das Beispiel ist in [1] ausführlich behandelt und stellt eine Fortsetzung zu dem Beispiel 0031-D-DBV-AK Software-Spannbetonbinder mit sofortigen Verbund nach DIN EN 1992-1-1 mit NA dar. Die Systemangaben und die Belastungen sind identisch, wobei sich das Beispiel hier auf den Nachweis der Kippstabilität konzentriert.

1.2 Theoretische Grundlagen

Der Nachweis erfolgt am verformten System mit einer geometrisch und physikalisch nichtlinearen Berechnung. Folgende Effekte werden berücksichtig:

  • geometrische Imperfektionen und Kriechverformungen
  • Lasteinleitung der Dachlasten am Obergurt
  • Verdrehungen um den Schubmittelpunkt
  • reduzierte Biege- und Torsionssteifigkeit infolge Rissbildung

1.3 System

  • Spannweite:  L0 = 30.00 m
  • Trägerlänge: Lges = 30.30 m
  • Trägerhöhe am Auflager:  h0 = 0.95 m
  • Trägerhöhe in Feldmitte:   hm = 1.70 m
  • Montageanker ab Trägeranfang/ende: LM = 3.75 m
  • Transport Trägeranfang/ende: Lli = 2.00 m, Lre = 5.50 m

1.4 Querschnitte

1.5 Material

Beton

  • C 50/60
  • Zement Klasse R
  • reduzierter Teilsicherheitsbeiwert  γc = 1.35

Betonstahl

  • B 500B

Spannstahl 

  • St 1570/1770
  • 7-Draht Litze, sehr niedrige Relaxation
  • Wärmebehandlung im Spannbett: T = 60° C
  • Nenndurchmesser Litze:  ϕp = 12.5 mm
  • Nennquerschnitt je Litze:  Ap = 0.93 mm2
  • Vorspannung je Litze:  σp,0(0) = 1000 N/mm2
  • sofortige Verluste infolge Kurzeitrelaxation 4 %

1.6 Randbedingungen für Kriechen, Schwinden und Relaxation

Lagerung:

  • Lösen der Verankerung nach t0 = 1 Tag, schrittweises Absetzen der Spannkraft
    zul σc(t) = 0.7 fck(t0) wird vom Fertigteilhersteller garantiert
  • 50 % relative Luftfeuchtigkeit während der Lagerung

Transport und Montage:

  • Transport des Binders nach tT = 10 Tage
  • Montage des Binders nach tM = 11 Tage

Nutzung:

  • Aufbringen der Zusatzlasten nach t1 = 21 Tage
  • Innenbauteil mit 50 % relativer Luftfeuchte
  • Expositionsklasse XC1

1.7 Bewehrung

Betonstahl:

  • Obergurt:   4 ø 20 = 12.56 cm2, Achsabstand d1 = 35 mm
  • Untergurt:  2 ø 16 =   4.02 cm2, Achsabstand d1 = 35 mm

Spannstahl:

  • 22 Litzen = 20.45 cm2, Abstand zum unteren Rand d1 = 85 mm, untereinander 38 mm

1.8 Einwirkungen

  • Eigengewicht Trägeranfang/ende: gk,a = 6.5 kN/m, Trägermitte: gk,m = 10.0 kN/m
  • zusätzliches Eigengewicht: Δgk = 10.8 kN/m
  • Schnee:  qk,s = 4.3 kN/m
  • Winddruck: qk,w = 0.61 kN/m
  • Wind horizontal: qk,wh = 0.33 kN/m

Als Lastangriffspunkt wird für das zusätzliche Eigengewicht, den Schnee und den Winddruck der Obergurt des Binders angesetzt. Das Eigenwicht und die horizontale Windlast greifen in der Schwerachse an. Die horizontale Windlast ist in dem fertig gestellten System nicht mehr vorhanden.

1.9 Imperfektionen

  • ungewollte Imperfektionen ei = L0/300 = 100 mm gemäß DIN EN 1992-1-1, 5.9
  • zusätzlich infolge Kriecheinfluss: eφ = 40 mm

Die Imperfektionen werden als seitliche Auslenkung mit einem parabolischen bzw. sinusförmigen Verlauf angesetzt.

Alternativ kann nach [2] eine Vorverformung von L0/500 zuzüglich einer Querschnittsverdrehung von 0.75 % angesetzt werden. Der Einfluss des Kriechens ist zusätzlich zu berücksichtigen. Dieser Ansatz wird hier jedoch nicht weiterverfolgt.

1.10 Nachweis der Kippstabilität

Der Nachweis der Kippstabilität ist für vier Zeitpunkte zu führen.

   Zeitpunkt  Lagerung Kombination
 Transport 10  Transportlagerung   1.15*1.3*Gk + 0.83*P(t=10) + 1.15*1.3*Qk,wh
 Montage 11  Montagelagerung   1.15*1.3*Gk + 0.83*P(t=11) + 1.15*1.3*Qk,wh
 Einbauzustand 21  Gabellagerung   1.35*Gk + 0.83*P(t=21) + 1.5*Qk,wh
 Endzustand  Gabellagerung   1.35*(Gk + ΔGk)+ 0.83*P(t=) + 1.5*Qk,s + 1.5*0.6*Qk,w

Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA, NDP zu 2.4.2.2 (2) ist bei der Schnittgrößenermittlung mit nichtlinearen Verfahren die Vorspannung mit γp,fav = 0.83 bzw. γp,unfav = 1.2 zu berücksichtigen.



Dieses Beispiel befindet sich noch in Bearbeitung. Es handelt sich um ein vorläufiges Ergebnis.
SoftwareherstellerSoftware-ProgrammVersionsnummer
Prof. Pauli, Hochschule DarmstadtSTABET2020
B5_Spannbetonbinder_kss.pdf: Nachweise Spannbetonbinder
B5_Spannbetonbinder_ext.pdf: Nachweise doppelte Buchführung
B5_Spannbetonbinder.pdf: Räumliche Stabwerksberechnung

3.1.1 Allgemeines - STABET

Der Nachweis der Kippstabilität wird mit STABET, einem räumlichen Stabwerksprogramm zur Berechnung der Biege-, Torsions- und Normalkraft-Verformungen nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung des physikalisch nichtlinearen Materialverhaltens von Beton und Stahl geführt.
Das Programm wurde im Rahmen eines Forschungsvorhabens "Versuche zur Kippstabilität an praxisgerechten Fertigteilträgern aus Stahlbeton und Spannbeton" [3] entwickelt und zur Nachrechnung der durchgeführten Versuche eingesetzt. Inzwischen wurde die Funktionalität des Programms erheblich erweitert. Wesentlich ist die Implementation eines neuen Ansatzes zur Berechnung der Torsionssteifigkeit unter Berücksichtigung des physikalisch nichtlinearen Materialverhaltens von Stahlbeton bzw. Spannbeton. Für das Pre-Processing wurde ein zusätzliches separates Modul KSS entwickelt mit dem im Vorlauf die Datengenerierung, die relevanten Nachweise für einen Spannbetonbinder sowie im Nachlauf das Post-Processing mit Hinblick auf die doppelte Buchführung unterstützt werden.

3.1.2 Materialparameter

Beton:

  • C 50/60
  • Materialsicherheit: γc = 1.35
  • Mittelwert der Druckfestigkeit: fcm = 58 N/mm2
  • Zugfestigkeit: fctm = 4.07 N/mm2
  • Elastizitätsmodul: Ecm = 37278 N/mm2
  • Schubmodul: Gcm = 15532 N/mm2
  • Scheiteldehnung: εc1 = -2.46
  • Bruchdehnung: εc1 = -3.5
  • Zugdehnung: εc1 = 0.11
  • Materialsicherheit: γc = 1.35
  • Langzeitauswirkungen: αcc = 0.85

Bild 3.1.1: Spannungs-Dehnungs-Linien des Betons

Betonstahl:

  • B 500B
  • Zugfestigkeit: ftk = 540 N/mm2
  • Fließgrenze: fyk = 500 N/mm2
  • Elastizitätsmodul: Es = 200000 N/mm2
  • Fließdehnung: εyk = 2.5  
  • Bruchdehnung: εud = 25

Spannstahl:

  • St 1570/1770
  • Zugfestigkeit: fpk = 1770 N/mm2
  • 0.1 % Dehngrenze: fp0.1k = 1500 N/mm2
  • Elastizitätsmodul: Ep = 195000 N/mm2
  • Fließdehnung: εp0,1 = 7.69
  • Bruchdehnung: εpud = 35
  • Vordehnung im Spannbett: εp0 = 5.13
  • sofortige Verluste infolge Kurzzeitrelaxation: 4 %
  • zeitabhängige Verluste infolge Kriechen und Schwinden:
    • bei x = 11.0 m ->  12.0 %
    • bei x =   1.0 m ->  25.0 %
  • Materialsicherheit: γp = 1.15
  • Berücksichtigung der Vorspannung: γp,fav = 0.83

3.1.3 Materialsicherheiten

Der Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit wird quasi über die doppelte Buchführung geführt. Zur Berechnung der Schnittgrößen und Verformungen nach Theorie II. Ordnung wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons gemäß DIN EN 1992-1-1, Gl (3.14) angesetzt. Dabei wird γc = 1.35 und αcc = 1.0 verwendet. Der Betonstahl und der Spannstahl wird mit einer bilinearen Spannungs-Dehnungs-Linie gemäß DIN EN 1992-1-1, Bild 3.8 bzw. Bild 3.10 jeweils mit Berücksichtigung des ansteigenden Astes und einer Materialsicherheit von γs = 1.0 angesetzt. Für den Nachweis der Tragfähigkeit wird für den Beton das Parabel-Rechteck-Diagramm gemäß DIN EN 1992-1-1, Gl (3.17) mit γc = 1.35 und αcc = 0.85 verwendet und die Materialsicherheit für den Stahl mit γs = 1.15 angesetzt.

Tabelle 2.1: Zusammenstellung der Annahmen für die doppelte Buchführung

Nachweis Material γp,fav αcc γc / γs DIN EN 1991-1 Eigenschaft
Verformungen Beton   1.0 1.35 Bild 3.2, Gl. (3.14) Mittelwerte der Materialeigenschaften
Stahl     1.0 Bild 3.8 bilinear idealisiert  [A]
Spannstahl 0.83   1.0 Bild 3.10
Tragfähigkeit Beton   0.85 1.35 Bild 3.3, Gl. (3.17) Parabel-Rechteck
Stahl     1.15 Bild 3.8 bilinear idealisiert  [B]
Spannstahl 1.0   1.15 Bild 3.10

 

3.1.4 Geometrische Imperfektionen

Gemäß DIN EN 1992-1-1, 5.9 (2) wird eine parabolisch verlaufende seitliche Auslenkung von ei = L0/300 = 100 mm als geometrische Imperfektion berücksichtigt. Zusätzlich wird diese Auslenkung um einen Anteil infolge Kriechen von eφ = 40 mm vergrößert. Die Vergrößerung infolge Kriechen wurde durch eine Vorabberechnung mit der quasi-ständigen Einwirkungskombination und einer mit dem Kriechbeiwert φ = 1.56 modifizierten Spannungs-Dehnungslinie-Linie des Betons ermittelt. Es wurde davon ausgegangen, dass die Kriechverformungen sich erst nach der Montage und dem Aufbringen der des zusätzlichen Eigengewichts einstellen.

Bild 3.1.2: Geometrische Imperfektionen vergrößert um den Anteil infolge Kriechen

3.1.5 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Als maßgebende Kombination wird für den Grenzzustand der Tragfähigkeit mit 1.35*(Gk + ΔGk)+ 0.83*P(t=) + 1.5*Qk,s + 1.5*0.6*Qk,w angesetzt. Der Nachweis erfolgt zum Zeitpunkt t = , das bedeutet, dass bei der Vorspannung die Verluste infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation im vollen Umfang berücksichtigt werden. Die Nachweise für Transport und Montage haben sich als nicht bemessungsrelevant erwiesen.

3.1.5.1 Torsion

Das aufnehmbare Torsionsmoment wird als Torsionsrissmoment nach [4] ermittelt. Die maßgebende Stelle befindet sich an den Gabellagern. Der Nachweis wird bei x = 1.0 m geführt. Die Rissbildung tritt ein, sobald die den Torsionsschubspannungen entsprechenden Hauptzugspannungen die Zugfestigkeit des Betons erreichen. Damit ergibt sich für eine reine Torsionsbeanspruchung:

T_{cr} = W_t \cdot f_{ct}

Für Spannbeton oder bei Bauteilen mit einer zusätzlichen Druckspannung  σx < 0 folgt aus der Betrachtung des Mohr'schen Spannungskreises:

 T_{cr} = W_t \cdot f_{ct} \cdot \sqrt{1-\sigma_x /f_{ct}}

Bild 3.1.3: Links Torsionsspannungen infolge Mt = 1000 kNm, rechts gemittelte Werte

Bild 3.1.4 Betonspannungen infolge Vorspannung

Mit dem Querschnitt bei x = 1.0 m ergibt sich für ein Torsionsmoment von 1000 kNm eine über den Steg gemittelte Torsionsspannung von 55.5 N/mm2 und infolge Vorspannung eine Normalspannung im Schwerpunkt von -6.58 N/mm2. Mit Berücksichtigung der Kriech-, Schwind- und Relaxationsverluste von 25.0 % und der Vorspannsicherheit von γp,fav = 0.83 ergibt sich das Torsionsrissmoment zu:

T_{cr} = \frac{1000}{55.5} \cdot 4.07 \cdot \sqrt{1 - \frac{0.83 \cdot (1-0.25) \cdot (-6.58)}{4.07}} = 103.9 \ kNm

 

3.1.5.2 Zweiachsige Biegung

Infolge der geometrischen Imperfektionen und der daraus resultierenden Querschnittsverdrehungen stellt sich bei einer Schnittgrößenermittlung am verformten System zweiachsige Biegung ein. Damit ist im Grenzzustand der Tragfähigkeit sicher zu stellen, dass eine Kombination aus der Hauptbiegung mit My,Ed und einem zugehörigen Mz,Ed aufgenommen werden kann.

Bild 3.1.5 Dehnungsebene und Spannungen bei x = 11.0 m im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Grenzdehnungen sind eingehalten)

3.1.5.3 Steifigkeiten

Die Normalkraft-, Biege- und Torsionssteifigkeiten werden am gerissenen Querschnitt im Zustand II ermittelt. In Bild 3.1.6 ist die Spannungs-Dehnungs-Situation im Schnitt x = 11.0 m dargestellt. Die einwirkenden Schnittgrößen sind identisch zu denen in Bild 3.1.5. Die Unterschiede bi der Vorspannung ergeben sich infolge der Zusammenstellung aus Tabelle 3.1. Zusätzlich wurde über den Ansatz der Betonzugfestigkeit eine Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen berücksichtigt.

Bild 3.1.6: Dehnungsebene und Spannungen bei x = 11.0 m mit den Mittelwerten der Baustoffeigenschaften

Die rechnerisch wirksame Torsionssteifigkeit wurde ebenfalls im Zustand II für den gerissen Querschnitt ermittelt. Dazu wurde das Torsionsträgheitsmoment der Druckzone mit einem integral gemittelten Schubmodul multipliziert, der sich aus der Sekantensteifigkeit über die Spannungen und Dehnungen ableitet.

GI_{t,II}=k_{II} \cdot \frac{1}{2 \cdot (1+2 \mue)} \cdot \frac{\sigma_c}{\epsilon_c} \cdot I_{t,Druckzone}

Zusätzlich ist kII ein Faktor eingeführt, mit dem der Steifigkeitsabfall infolge oberflächennaher Mikrorisse erfasst werden soll. In [3] wurde empfohlen eine reduzierte Torsionssteifigkeit von 60 % bei Spannbeton und 80 % bei schlaff bewehrten Trägern anzusetzen. Bild 3.1.7 stellt einen Ansatz mit einem linearisierten Übergang von einem überdrückten in einen gerissen Querschnitt dar. Dabei ist kA das Verhältnis der überdrückten Fläche bezogen auf die gesamte Querschnittsfläche.

k_A=\frac{A_{Druckzone}}{A_c}

k_{II}=0.8-0.5 \cdot (k_A-0.3) \; \; \; \left\{\begin{matrix} \geq 0.6\\ \leq 0.8 \end{matrix}\right.

Bild 3.1.7: Berücksichtigung des Steifigkeitsabfalls infolge oberflächennaher Mikrorisse

Für die Dehnungsebene in Bild 2.6 ergibt sich beispielhaft folgende Zahlenrechnung:

  • Verhältnis der überdrücken Fläche bezogen auf die gesamte Querschnittsfläche: kA ≈ 0.4
  • Sekantenmodul gemittelt über den ungerissenen Querschnitt: Ec,sek ≈ 25000 N/mm2
  • Torsionsträgheitsmoment der ungerissenen Querschnittsfläche: It ≈ 0.0025 m4

GI_{t,II}\approx (0.8-0.5 \cdot (0.4-0.3)) \cdot 0.4 \cdot 25000 \cdot 0.0025 = 18.75 \; MNm^{2}

3.1.6 Berechnungen

Die Ergebnisse sind in drei unterschiedlichen PDF-Ausdrücken erfasst und können getrennt heruntergeladen werden:

  1. Nachweise Spannbetonbinder
  2. Räumliche Stabwerksberechnung
  3. Nachweise doppelte Buchführung

Die Berechnung erfolgt in zwei bzw. drei Schritten. Im ersten Schritt werden mit KSS der Spannbetonbinder mit der Geometrie, den Einwirkungen und allen Grundeingaben erfasst und die Nachweise für GZT und GZG gemäs DIN EN 1992-1-1/NA geführt. Dieser Schritt ist quasi identisch mit Beispiel 0031-D-DBV-AK Software-Spannbetonbinder mit sofortigen Verbund nach DIN EN 1992-1-1 mit NA. In Vorbereitung für den zweiten Schritt werden von KSS die Daten für eine räumliche Stabwerksberechnung mit STABET erzeugt. Hierbei werden die Kriech- und Schwindberechnung, die daraus resultierenden Vordehnungen für den Spannstahl und die maßgebende Lastkombination übernommen. Mit STABET erfolgt dann eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung mit Berücksichtigung des nichtlinearen Materialverhaltens. Es kann eine Traglastermittlung in der Form vorgenommen werden, dass in mehreren Schritten die definierte Lastkombination global gesteigert wird bis die Stabilitätslast erreicht ist. Um eine ausreichende Systemtragfähigkeit nachzuweisen, muss die globale Laststeigerung größer gleich 1.0 sein. Anschließend ist zusätzlich die Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit erforderlich (doppelte Buchführung). Dieser Schritt wird idealerweise für die maßgebende Kombination ohne weitere Laststeigerung durchgeführt.

3.1.6.1 Traglastberechnung

Die Traglastkurve wird für die Kombination 0.83*P(t=) + Faktor *(1.35*(Gk + ΔGk) + 1.5*Qk,s + 1.5*0.6*Qk,w) geführt. Zusätzlich wird eine geometrische Imperfektion von ei = L/300 = 100 mm und eine Kriechvorverformung von eφ = 40 mm berücksichtigt. Die in Bild 3.1.1 dargestellt Traglastkurve zeigt, dass mit einem Traglastfaktor von 1.125 die kritische Systemtragfähigkeit erreicht ist. Mit uy ist die horizontale Verformung des Obergurtes in Feldmitte dargstellt.

Bild 3.1.1: Traglastkurve

3.1.6.2 Bemessungsschnittgrößen

Die in Tabelle 3.1.1 zusammengestellten Schnittgrößen sind am verformten System für die Kombination  0.83*P(t=) + 1.0*(1.35*(Gk + ΔGk) + 1.5*Qk,s + 1.5*0.6*Qk,w)  ermittelt. Sie entsprechen den Bemessungsschnittgrößen an den maßgebenden Nachweisstellen (Torsion in Auflagernähe, X = 1.0 m und zweiachsige Biegung am kritischen Schnitt im Feldbereich, X = 11.0 m).

Tabelle 3.1.1: Schnittgrößen am verformten System

X P0(t=)
[kN]
Mt,Ed
[kNm]
My,Ed
[kNm]
Mz,Ed
[kNm]
1.0 1478.1 91.1 472.1 ~ 0
11.0 1728.6 43.3 3493.6 -99.2

P0(t=) ist die Spannbettkraft zum Zeitpunkt t =

3.1.6.3 Tragfähigkeitsnachweis

Für den Tragfähigkeitsnachweis darf der Teilsicherheitsbeiwert für die Vorspannung mit γp = 1.0 angenommen werden. Damit wird die Tragfähigkeit für die Kombination 1.0*P(t=) + 1.0*(1.35*(Gk + ΔGk) + 1.5*Qk,s + 1.5*0.6*Qk,w) nachgewiesen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 3.1.2 zusammengefasst und die Ausnutzung zeigt in Verbindung mit Tabelle 3.1.1, dass die einwirkenden Schnittgrößen kleiner als die aufnehmbaren Schnittgrößen sind.

Tabelle 3.1.2: Tragfähigkeit für Torsion und zweiachsige Biegung

  Torsion zweiachsige Biegung
X Mt,cr
[kNm]
Ed/Rd My,Rd
[kNm]
Mz,Rd
[kNm]
Ed/Rd
1.0 105.2 0.87 - - -
11.0 - - 3803.2 -107.9 0.92

 

3.1.6.4 Vereinfachter Kippnachweis

Mit dem Modul KSS lässt sich zusätzlich ein vereinfachter Kippnachweise nach [2] führen. Für das vorliegende Beispiel kann dieser jedoch nicht mit ausreichender Sicherheit erbracht werden. Damit ist der erhöhte Aufwand für den genaueren Nachweis in diesem Fall gerechtfertigt.

 


Dieses Beispiel befindet sich noch in Bearbeitung. Es handelt sich um ein vorläufiges Ergebnis.
SoftwareherstellerSoftware-ProgrammVersionsnummer
RIB Software GmbHFERMO22.0


[1] Tillmann, M., Spannbetonbinder nach Eurocode 2, Bemessung - Erläuterungen - Checkliste, Fachvereinigung Deutscher Betonfertigteilbau e.V., 2015, 2. Auflage.

[2] König, G., Pauli, W., Nachweis der Kippstabilität von schlanken Fertigteilträgern aus Stahlbeton und Spannbeton, in: Beton- und Stahlbeton Heft 5, Heft 5 (1992).

[3] Pauli, W., Versuche zur Kippstabilität an praxisgerechten Fertigteilträgern aus Stahlbeton und Spannbeton, Darmstadt: Dissertation D 17 1990.

[4] Zedler, T., Zum Tragverhalten von Stahlbeton- und Spannbetonbalken unter Torsion, Ruhr Universität Bochum: Dissertation 2011.

 


Der Status des Beispiels ist "in Bearbeitung". Das bedeutet, dass Sie lediglich die Klassifikation und die Problembeschreibung einsehen können.


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