0013-A-Euler buckling modes

Leonhard Euler formulated the well-known stability cases I to IV for centrally compressed beams.

The solutions to the differential equations are based on trigonometric functions, which cannot be accurately represented by a classical finite beam element using polynomials. To evaluate the element approach, it is therefore necessary to determine the results using a coarse element mesh as well.

In most FE programmes, shear deformations are also included by default; whilst these have only a minor influence on slender members, they also prevent the exact theoretical values from being obtained.

A third point to note is that, when describing beam joints, so-called ‘static’ condensation is frequently applied, which does not permit accurate solutions for either dynamic or stability mode shapes.

An HEB 300 cross-section with an Iy of 25,170 cm^⁴, a modulus of elasticity of 210,000 MPa and a system length L = 16,000 mm is to be used as the system for numerical evaluation.

Von Leonhard Euler stammen die wohlbekannten Stabilitätsfälle I bis IV für zentrisch gedrückte Stäbe.

Den Lösungen der Differentialgleichungen liegen trigonometrische Funktionen zu Grunde, die von einem klassischen finiten Stabelement mit Polynomen nicht exakt abgebildet werden können. Zur Bewertung des Elementansatzes ist es daher erforderlich die Ergebnisse auch mit einer groben Elementeinteilung zu ermitteln.

Bei den meisten FE-Programmen werden außerdem per Voreinstellung Schubverformungen mit angesetzt, die bei schlanken Stützen zwar nur einen geringen Einfluss haben, aber ebenfalls verhindern, dass man die exakten theoretischen Werte trifft.

Als dritter Punkt sei vermerkt, dass bei der Beschreibung von Stabgelenken häufig eine sogenannte "statische" Kondemsation angewendet wird, die weder für dynamische noch Stabilitätseigenformen zutreffende Lösungen erlaubt.

Als System zur numerischen Evaluation soll ein Querschnitt HEB 300 mit einem I_y von 25170 cm⁴ und einem E-Modul von 210000 MPa sowie einer Systemlänge L = 16000 mm verwendet werden.