D2
Reference solution
Database
0033-D-DBV-AK Software-Reinforced concrete cantilever support in accordance with DIN EN 1992-1-1 using NA – General method
An example by the working group DBV-Arbeitskreis Software für Baustatik
The example was created by
Bert Ziems, Ria Tautz, David Krybus, Dipl. Ing. (FH) Alexander Meierhofer
and published on 31.08.2021 on
published. You can find it at https://evadat.com/en/bsp/0033/.
D0Classification
- ClassD · Standards-based verification example
- Structural system typeSpecial component
- MechanicsStatics - second-order theory
- Material lawElastic-plastic
- MaterialConcrete/reinforced concrete/prestressed concrete
- Verification formatUltimate limit state verification
- StandardDIN EN 1992
D1Problem description
This section was machine-translated by DeepL.
Original version
D1.1Task description
The support examined here corresponds to Example 10 from [1] and is already covered by EvaDAT: .
The load-bearing capacity is now to be verified in accordance with the General Method for Normal Temperatures (geometrically and materially non-linear calculation) as set out in DIN EN 1992-1-1/NA:2015-12 and DIN EN 1990/NA:2012-12.
In order to limit the large variations in the design results initially observed to those actually attributable to the method, comparing the deformations determined in the GZT with a given reinforcement scheme and focusing on two load combinations proved to be a suitable approach. By using significantly less reinforcement than in Example 10 – close to the minimum required for load-bearing capacity – clearly perceptible effects arising from second-order theory became apparent. In a second variant, the stiffening effect of the concrete between the cracks is taken into account.
D1.2Theoretical foundations
A wide range of non-linear methods with different implementation variants is available, as summarised in [4], Chapter 1.5. In [3], Chapter 3.4.2.2, it is noted that when using software programmes for the numerical calculation of slender pressure members, varying calculation results may occur. It is therefore essential to carefully consider the boundary conditions and assumptions.
Non-linear material model:
According to [2] The non-linear method set out in DIN EN 1992-1-1, Chapter 5.7 (global safety factor γR) may lead to uneconomical design results for columns that are highly dependent on deformations and is therefore not considered in this example. Instead, the method set out in DIN EN 1992-1-1, Section 5.8.6, is used. In its extension according to DIN 1992-1-1/NA, in [3] Known as the ‘Modified general method in accordance with DIN EN 1992-1-1, Chapter 5.8.6’, it has proved to be the most suitable method for compression members. It will therefore also be applied in the comparative calculations in this example. As it is only suitable for determining internal forces, a subsequent verification of the cross-section’s load-bearing capacity is required (double-checking).
Tensile reinforcement:
According to DIN EN 1992-1-1, Chapter 5.8.6, tensile stiffening may be taken into account without any further details being provided regarding the procedure. Two basic methods are described in the literature: one involves a modified stress–strain curve for the reinforcing steel in accordance with [4] or a modified stress-strain curve for concrete according to [5]. The preferred approach in this example is to take account of the reinforced concrete using a modified stress-strain curve.
Creep:
There are also several methods available for taking creep into account, each with a different degree of approximation, In addition to the method described in DIN EN 1992-1-1, Section 5.8.6, which takes account of creep via the concrete working line shifted by (1+φeff), the approach of applying a creep pre-strain according to Westerberg [6] or the approach based on pre-curvatures determined from creep settlements [7] known. In the comparative calculations, the Westerberg method should preferably be used.
D1.2.1Summary of the assumptions made
(1) The internal forces according to second-order theory:
Stress-strain curve for concrete according to Eq. 3.14 with design values; according to DIN EN 1992-1-1/NA, reduced mean values may be used
\left(\frac{f_{cm}}{\gamma_C},\,\frac{E_{cm}}{\gamma_C E}\right)
Stress–strain curve for reinforcing steel in accordance with 3.2.7, Figure 3.8, using design values
\left(f_{yd},\,\frac{f_{tk}}{\gamma_S}\right)
(2) Load-bearing capacity at the cross-section:
For the shear force condition at the end of the iteration, a check is carried out to determine whether the stress in the cross-section can also be accounted for using the stress-strain lines with design values in accordance with 3.1.7 for concrete and 3.2.7 for reinforcing steel, without, however, taking the tensile stiffening into account.
\left(f_{cd},\,f_{yd},\,\frac{f_{tk,\mathrm{cal}}}{\gamma_S}\right)
(3) Creep pre-straining according to Westerberg [6]:
This is based on an idealised load history. First, permanent loads Fperm are applied (B).
The increase in deformations (B\to C) under continuous loading is achieved by reducing the modulus of elasticity, whereby all strain values of the concrete in the stress-strain diagram are multiplied by the factor (1+ \varphi) is multiplied. The pre-deformation v0 is derived from the difference between the deformations with and without the influence of creep, and represents the starting point (E) for the calculation using design load cases. The calculation is carried out iteratively, separately for each load case combination.
(4) Tensile reinforcement with a modified stress-strain curve for reinforcing steel [8, Bild H5-11 bzw. H5-12].
- Concrete tensile strength:
The tensile stiffening is determined by the ratio of the steel stress resulting from the external load to that resulting from the crack section dimensions. In this context, it is also considered sufficient in the GZT, when determining the crack section dimensions, to assume the tensile strength as fctm, because the deformation is calculated as the integration of curvatures determined at many cross-sections, and thus individual weak points with lower strength do not have any serious consequences.
- Factor ßt = 0.4 for a single, short-term load
- Factor δd = 0.8 for high-ductility steel B500 B
(5) Further assumptions:
- The calculations for the cross-section are carried out using the gross dimensions of the concrete cross-section.
- The self-weight of the column is continuously applied as a line load in the axial direction
- Reduced partial safety factors for precast elements are not used.
D1.3System
The column is located within a three-span flat hall frame. The frame consists of four cantilever columns and three individual trusses hinged to them. The column in question is one of the two end columns.
The frame effect is only taken into account for the horizontally acting wind load by applying previously determined coupling forces at the column head. In addition, horizontal column forces are applied for the vertical loads to compensate for the displacements at the column head resulting from the eccentric application of loads at the column head (symmetry of deformation).
For the design analysis, the edge column is modelled as a single column – an elastically fixed cantilever column subjected to uniaxial loading in the transverse direction of the hall.
The column height is taken to be the height of the beam supports above the top of the foundation (lcol = 6.20 m). The overhang is taken into account by applying the appropriate loads from dead weight and wind.
Foundation rotation is defined in [1] This is taken into account, approximately, by increasing the buckling length coefficient to ß = 2.1 (instead of ß = 2.0). This corresponds to an elastic restraint at the base with a torsional spring constant of 340,000 kNm.
Cross-section:
Rectangle
450 x 400 mm
Reinforcement spacing
d1 = 38 mm
Creep:
According to EN 1992-1-1, Annex B, for C30/37 concrete, the effective thickness of the cross-section, a curing age of 28 days, an air humidity of 50 per cent and Class N cement, the creep coefficient is φ∞= 2.33.
Given that the assumptions for this example are the same, we use
D1.4Material
Concrete
C30/37
Ecm = 33,000 N/mm2
fcd = 17 N/mm2
Reinforcing steel
B500B
fyk = 500 N/mm2
fyd = 435 N/mm2
D1.5Effects
Continuous stresses (\gammaG = 1.35)
Gk1
Constant vertical live load on trusses
Vertical load at the truss support ey = 10.0 cm
VGk,1 = 400 kN
H-load at the level of the truss support (see 1.3)
HGk,1 = 9.67 kN
Gk2
Dead weight of support + overhang
Dead weight distributed continuously over the height of the supports
vGk,2 = 4.5 kN/m
Dead weight, overhang at the top ey = -14.0 cm
VGk,3 = 3.2 kN
Variable loads (\gammaQ =1.5)
QSk
Snow y0= 0.5 (towns and villages up to 1,000 m above sea level)
vertical support load, Binder ey = 10 cm
VQk,s = 68 kN
H-load at the level of the truss support (see 1.3)
HQk,s = 1.64 kN
QWk
Wind (Wind Zone IV) y0 = 0.6, pressure and suction act alternately
horizontal line load over the height of the column
Suction
wk,s = -1.85 kN/m
Print
wk,d = 4.32 kN/m
Edge moment and edge load based on a cantilever length of h = 1.90 m
Suction
Hw, k, s= -3.5 kN
Mw, k, s= -3.33 kNm
Print
Hw,k,d= 8.20 kN
Mw,k,d= 7.8 kNm
Coupling force (see 1.3)
Suction
Fh, k, S= 2.22 kN
Print
Fh, k, d= -13.74 kN
Imperfection
accordingly [1] is given by the coefficient for the column length \alpha_h = \frac{2\sqrt{l}}{l} = 0.803 and load-bearing columns coupled with m=4 \alpha_m = \sqrt{0.5 \cdot (1 + 1/m)} = 0.79 a tilt \theta_i = \frac{1}{200} \cdot 0.803 \cdot 0.79 = \frac{1}{315} and thus an unintended offset at the column head of e_{i}=\theta_{i}\cdot\frac{l_0}{2}=\frac{1300}{2\cdot315}=2.1\,\mathrm{cm}
Load level at which creep occurs:
a quasi-continuous combination of effects
D1.1Aufgabenstellung
Die hier untersuchte Stütze entspricht Beispiel 10 aus [1] und ist bereits Gegenstand von EvaDAT: .
Hier soll nun die Tragfähigkeit nach dem Allgemeinen Verfahren für Normaltemperatur (geometrisch und materiell nichtlineare Berechnung) nach DIN EN 1992-1-1/NA:2015-12 und DIN EN 1990/NA:2012-12 nachgewiesen werden.
Um die die zunächst beobachteten großen Streuungen der Bemessungsergebnisse auf die wirklich verfahrensbedingten einzuschränken, erwies sich der Vergleich der im GZT ermittelten Verformungen mit einer gegebenen Bewehrung und die Konzentration auf 2 Lastkombinationen als geeignete Herangehensweise. Durch die Verwendung einer gegenüber Beispiel 10 deutlich geringeren Bewehrung nahe dem für die Tragfähigkeit notwendigen Minimum, ergaben sich deutlich wahrnehmbare Effekte aus Theorie 2. Ordnung. In einer zweiten Variante wird die versteifende Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen berücksichtigt.
D1.2Theoretische Grundlagen
Es steht eine große Palette von nichtlinearen Verfahren mit unterschiedlichen Ausführungsvarianten zur Verfügung, wie in [4] Kapitel 1.5 zusammenfassend dargestellt. In [3], Kapitel 3.4.2.2 wird dazu festgestellt, das bei Verwendung von Softwareprogrammen mit numerischer Berechnung schlanker Druckglieder variierende Berechnungsergebnisse auftreten können. Deshalb ist eine sorgfältige Betrachtung der Randbedingungen und Annahmen unabdingbar.
Nichtlineares Materialmodell:
Nach [2] kann das nichtlineare Verfahren nach DIN EN 1992-1-1 Kapitel 5.7 (globaler Sicherheitsbeiwert γR) bei Stützen, die stark von Verformungen abhängen, zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen führen und wird daher für dieses Beispiel nicht betrachtet. Statt dessen wird das Verfahren nach DIN EN 1992-1-1 Kapitel 5.8.6" verwendet. In seiner Erweiterung nach DIN 1992-1-1/NA, in [3] das "Modifizierte allgemeine Verfahren nach DIN EN 1992-1-1 Kapitel 5.8.6" genannt, hat es sich als das für Druckglieder am besten geeignete Verfahren erwiesen. Deshalb soll es auch bei den Vergleichsrechnungen dieses Beispieles angewendet werden. Da es nur zur Schnittgrößenermittlung geeignet ist, wird ein anschließender Nachweis der Querschnittstragfähigkeit erforderlich (doppelte Buchführung).
Zugversteifung:
Nach DIN EN 1992-1-1 Kapitel 5.8.6 darf eine Zugversteifung berücksichtigt werden, ohne dass nähere Angaben zur Vorgehensweise gemacht werden. Aus der Literatur sind zwei grundsätzliche Vorgehensweisen bekannt, einmal über eine modifizierte Spannungs- Dehnungslinie des Betonstahles nach [4] bzw. eine modifizierte Spannungs- Dehnungslinie des Betons nach [5]. Vorzugsvariante in diesem Beispiel ist die Berücksichtigung über eine modifizierte Spannungs- Dehnungslinie des Betonstahles.
Kriechen:
Zur Berücksichtigung des Kriechens stehen ebenfalls mehrere Verfahren mit unterschiedlichem Näherungsgrad zur Verfügung, Neben der in DIN EN 1992-1-1 Kapitel 5.8.6 genannten Berücksichtigung über die mit (1+φeff) verzehrte Betonarbeitslinie sind der Ansatz einer Kriechvorverformung nach Westerberg [6] oder der Ansatz von aus Kriechumlagerungen ermittelten Vorkrümmungen [7] bekannt. In den Vergleichsrechnungen soll vorzugsweise das Verfahren nach Westerberg angewendet werden.
D1.2.1Zusammenfassung der getroffenen Annahmen
(1) Die Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung:
Spannungs- Dehnungs- Linie für Beton nach Gl. 3.14 mit Bemessungswerten, nach DIN EN 1992-1-1/NA dürfen abgeminderten Mittelwerte verwendet werden
\left(\frac{f_{cm}}{\gamma_C},\,\frac{E_{cm}}{\gamma_C E}\right)
Spannungs- Dehnungs- Linie für Betonstahl nach 3.2.7 Bild 3.8 mit Bemessungswerten
\left(f_{yd},\,\frac{f_{tk}}{\gamma_S}\right)
(2) Tragfähigkeit am Querschnitt:
Für den Schnittkraftzustand am Ende der Iteration wird geprüft, ob die Beanspruchung des Querschnitts auch mit den Spannungs- Dehnungs- Linien mit Bemessungswerten nach 3.1.7 für Beton und 3.2.7 für Betonstahl aufgenommen werden kann, dies jedoch ohne Berücksichtigung der Zugversteifung.
\left(f_{cd},\,f_{yd},\,\frac{f_{tk,\mathrm{cal}}}{\gamma_S}\right)
(3) Kriechvorverformung nach Westerberg [6]:
Hierzu geht man von einer idealisierten Lastgeschichte aus. Zuerst werden ständige Lasten Fperm angebracht (B).
Die Zunahme der Verformungen (B\to C) unter ständiger Beanspruchung wird durch die Abminderung des Elastizitätsmoduls erreicht, in dem alle Dehnungswerte des Betons im Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit dem Faktor (1+ \varphi) multipliziert werden. Die Vorverformung v0 ergibt sich aus der Differenz der Verformungen mit und ohne Kriecheinfluss und stellt den Ausgangspunkt (E) für die Berechnung mit Bemessungslastfällen dar. Die Berechnung erfolgt iterativ, getrennt für jede Lastfallkombination.
(4) Zugversteifung mit modifizierter Spannungs- Dehnungslinie des Betonstahls [8, Bild H5-11 bzw. H5-12].
- Betonzugfestigkeit:
Die Zugversteifung wird über das Verhältnis der Stahlspannung aus äußerer Last zu der aus Rissschnittgrößen bestimmt. Dabei wird es für die Bestimmung der Risschnittgrößen auch im GZT als ausreichend angesehen, die Zugfestigkeit mit fctm anzunehmen, weil die Verformungsermittlung als Integration von an vielen Schnitten ermittelten Krümmungen erfolgt und somit einzelne Schwachstellen mit geringerer Festigkeit keine gravierenden Auswirkungen haben.
- Faktor ßt= 0,4 für eine einzelne, kurzzeitige Belastung
- Faktor δd= 0.8 für hochduktilen Stahl B500 B
(5) weitere Annahmen:
- Die Berechnungen am Querschnitt werden mit den Bruttoabmessungen des Betonquerschnitts durchgeführt.
- Das Stützeneigengewicht wird kontinuierlich als Linienlast in Achsrichtung eingetragen
- Reduzierte Teilsicherheitsbeiwerte für Fertigteile werden nicht verwendet.
D1.3System
Die Stütze befindet sich in einem 3-feldrigen ebenen Hallenrahmen. Der Rahmen wird durch 4 Kragstützen und 3 auf diesen gelenkig aufgelagerten Einzelbindern gebildet. Die betrachtete Stütze ist dabei eine der beiden Randstützen.
Die Rahmenwirkung wird nur für die horizontal einwirkende Windlast durch den Ansatz vorab ermittelter Koppelkräfte am Stützenkopf berücksichtigt. Zusätzlich werden für die Vertikallasten horizontale Stützkräfte angesetzt, welche die Stützenkopfverschiebungen infolge der exzentrischen Lasteinleitung am Stützenkopf kompensieren (Symmetrie der Verformung).
Die Randstütze wird für den Nachweis als Einzelstütze als elastisch eingespannte und in Hallenquerrichtung einachsig beanspruchte Kragstütze modelliert.
Als Stützenhöhe wird die Höhe der Binderauflager über OK Fundament angenommen (lcol = 6,20 m). Der Überstand wird durch den Ansatz entsprechender Lasten aus Eigengewicht und Wind berücksichtigt.
Eine Fundamentverdrehung wird in [1] näherungsweise über eine Vergrößerung des Knicklängenbeiwertes auf ß=2,1 (anstatt ß=2,0) berücksichtigt. Dies entspricht einer elastischen Einspannung am Fußpunkt mit einer Drehfeder = 340000 kNm.
Querschnitt:
Rechteck
450 x 400 mm
Bewehrungsabstand
d1 = 38 mm
Kriechen:
Nach EN 1992-1-1 Anhang B ergibt sich für den Beton C30/37, die wirksame Dicke des Querschnittes, ein Belastungsalter von 28 Tagen, eine Luftfeuchte von 50% sowie einen Zement der Klasse N eine Kriechzahl von φ∞= 2.33.
Wegen der Übereinstimmung bei den Annahmen für dieses Beispiel wird mit
D1.4Material
Beton
C30/37
Ecm = 33000 N/mm2
fcd = 17 N/mm2
Betonstahl
B500B
fyk = 500 N/mm2
fyd = 435 N/mm2
D1.5Einwirkungen
Ständige Einwirkungen (\gammaG = 1.35)
Gk1
ständige vertikale Auflagerlast Binder
Vertikallast am Binderauflager ey = 10,0 cm
VGk,1 = 400 kN
H-Last in Höhe Binderauflager (siehe 1.3)
HGk,1 = 9,67 kN
Gk2
Eigengewicht Stütze + Überstand
Eigengewicht kontinuierlich über Stützenhöhe
vGk,2 = 4,5 kN/m
Eigengewicht Überstand am Kopf ey = -14,0 cm
VGk,3 = 3,2 kN
Veränderliche Einwirkungen (\gammaQ =1.5)
QSk
Schnee y0= 0.5 (Orte bis 1000 m über NN)
vertikale Auflagerlast Binder ey = 10 cm
VQk,s = 68 kN
H-Last in Höhe Binderauflager (siehe 1.3)
HQk,s = 1,64 kN
QWk
Wind (Windzone IV) y0 = 0.6, Druck und Sog wirken alternativ
horizontale Linienlast über die Stützenhöhe
Sog
wk,s = -1,85 kN/m
Druck
wk,d = 4,32 kN/m
Randmoment und Randlast aus Überstand h = 1,90 m
Sog
Hw,k,s= -3,5 kN
Mw,k,s= -3,33 kNm
Druck
Hw,k,d= 8,20 kN
Mw,k,d= 7,8 kNm
Koppelkraft (siehe 1.3)
Sog
Fh,k,S= 2,22 kN
Druck
Fh,k,d= -13,74 kN
Imperfektion
entsprechend [1] ergibt sich mit dem Beiwert für die Stützenlänge \alpha_h = \frac{2\sqrt{l}}{l} = 0.803 und mit m=4 gekoppelten lastabtragenden Stützen \alpha_m = \sqrt{0.5 \cdot (1 + 1/m)} = 0.79 eine Schiefstellung \theta_i = \frac{1}{200} \cdot 0.803 \cdot 0.79 = \frac{1}{315} und damit eine ungewollte Ausmitte am Stützenkopf von e_{i}=\theta_{i}\cdot\frac{l_0}{2}=\frac{1300}{2\cdot315}=2.1\,\mathrm{cm}
Kriechwirksames Lastniveau:
quasi-ständige Einwirkungskombination
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Register hereD5References
- [1] Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein e. V.: Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein E. V.: Beispiele zur Bemessung nach Eurocode 2. Band 1: Hochbau.: Ernst & Sohn 2011.; mit Korrekturen Juni 2012. Berlin: Ernst & Sohn. 2021.
- [2] Empelmann, M.; Fischer, O.; Cramer, J.; Henke, M.: Berechnung von Druckgliedern mit nichtlinearen Verfahren. In: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton e.V. (DAfStb): DAfStb Heft 630. Berlin: Beuth Verlag. 2018.
- [3] Graubner, C.; Müller, D.; Rombach, G.; Zeier, J.: Schnittgrößenermittlung unter Berücksichtigung nichtlinearen Materialverhaltens. In: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton e.V.- DAfStb: DAfStb Heft 631. Beuth Verlag. 2019.
- [4] Hegger, J.; Fingerloos, F.; Ignatiadis, A.: Teil 1: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA. In: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton - DAfStb: DAfStb Heft 600. Berlin: Beuth Verlag. 2020. ISBN 978-3-410-65838-2.
- [5] Pfeiffer, U.: Die nichtlineare Berechnung ebener Rahmen aus Stahl- oder Spannbeton mit Berücksichtigung der durch das Aufreißen bedingten Achsendehnung. Cuvillier Verlag. 2004.
- [6] Westerberg, B.: Second order effects in slender concrete structures. Stockholm: Betongbyggnad. 2004.
- [7] Quast, U.: Lineares oder nichtlineares Kriechen bei Druckgliedern. In: Beton- und Stahlbetonbau 99 (10), 2004.
- [8] Fingerloos, F.; Hegger, J.; Ignatiadis, A.: Kapitel 5.7 nichtlineare Verfahren. In: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton e.V. - DAfStb: DAfStb Heft 600 Teil 1: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA. Beuth. 2020.
Editors
Bert Ziems
FRILO Software GmbH (Stuttgart, Germany)
–
Creator
Bert Ziems
FRILO Software GmbH (Stuttgart, Germany)
B5+ Stahlbetonstütze (01/24)
FRILO Software GmbH
Editor 1
Ria Tautz
SOFiSTiK AG (Garching, Germany)
SOFiSTiK FEA (Service Pack 2024-1.0)
SOFiSTiK AG
Editor 2
David Krybus
RIB Software GmbH (Stuttgart, Germany)
BEST (22.0)
RIB Software GmbH
Editor 3
Dipl. Ing. (FH) Alexander Meierhofer
Dlubal Software GmbH (Tiefenbach, Germany)
RFEM (5.33)
Dlubal Software GmbH
Editor 4
Bert Ziems
Creator, Editor 1
FRILO Software GmbH (Stuttgart, Germany)
Software used:
B5+ Stahlbetonstütze (01/24)
FRILO Software GmbH
Ria Tautz
Editor 2
SOFiSTiK AG (Garching, Germany)
Software used:
SOFiSTiK FEA (Service Pack 2024-1.0)
SOFiSTiK AG
David Krybus
Editor 3
RIB Software GmbH (Stuttgart, Germany)
Software used:
BEST (22.0)
RIB Software GmbH
Dipl. Ing. (FH) Alexander Meierhofer
Editor 4
Dlubal Software GmbH (Tiefenbach, Germany)
Software used:
RFEM (5.33)
Dlubal Software GmbH
